Funcion Cuadratica

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como
Gráficas de funciones cuadráticas.
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.
Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como:  y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como .
Representación analítica
Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.
Forma desarrollada
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente .
Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:
siendo a el coeficiente principal de la función, y  y  las raíces de . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces  por lo que la factorización adquiere la forma:
En este caso a  se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
 Corte con el eje y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen
[editar]Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:
se tiene que:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:
Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).
Extremos
Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.
Dada la función en su forma desarrollada: , la coordenada x del vértice será simplemente: . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.